1.引言

       在研究晶體振蕩器和原子鐘的穩(wěn)定性時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)這些系統(tǒng)的相位噪聲中不僅有白噪聲，而且有閃爍噪聲。使用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)工具（例如標(biāo)準(zhǔn)差）分析這類噪聲時(shí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果是無法收斂的。為了解決這個(gè)問題，David Allan于1966年提出了Allan方差分析，該方法不僅可以準(zhǔn)確識(shí)別噪聲類型，還能準(zhǔn)確確定噪聲的特性參數(shù)，其優(yōu)點(diǎn)在于對各類噪聲的冪律譜項(xiàng)都是收斂的。該方法初被用于分析晶振或原子鐘的相位和頻率不穩(wěn)定性，比如，晶振的中心頻率均采用Allan方差來表征時(shí)域內(nèi)的穩(wěn)定度。由于gao端陀螺，氣體傳感等各類物理量測儀器本身也具有晶振的特征，因此該方法隨后被廣泛應(yīng)用于各種物理傳感器的隨機(jī)誤差辨識(shí)中。

這些是本文即將涵蓋的主題。

       下文中，我們首先將從整體上介紹傳感器噪聲的基礎(chǔ)知識(shí)。有了噪聲知識(shí)，我們將討論Allan方差圖的含義，幫助你在購買產(chǎn)品中使用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行決策以及在使用產(chǎn)品時(shí)校正傳感器的噪聲。

2.信號(hào)，噪聲和數(shù)據(jù)

2.1.噪聲

       這只是一個(gè)純粹的定義，但將對我們的分析很有幫助。如果這個(gè)定義不正確，則信號(hào)中不趨近于零的部分就不是“噪聲”，而是其他的東西。可能是某種干擾，可能是傳感器的偏移量，甚至，可能就是你要測量的數(shù)據(jù)！信號(hào)中不是噪聲又不是實(shí)際數(shù)據(jù)的部分通常稱為“錯(cuò)誤”。在現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)據(jù)流（即信號(hào)）中，所有這些因素和其他因素共同構(gòu)成了傳感器輸出的值。以加速度計(jì)為示例：

       即使這樣，我們也無法使用單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)來很好地校正噪聲。首先，噪聲水平通常是“大”噪聲。這意味著噪聲將偏離實(shí)際數(shù)據(jù)值約0.01g，但其幅度也可能更小。即使我們假設(shè)噪聲始終為0.01g，該特定數(shù)據(jù)點(diǎn)上的噪聲是疊加還是降低？換句話說，我們的測量值實(shí)際上是1.062還是1.042？沒有辦法知道。

測量噪聲

       如果將所有這些值取平均值，我們將得到沿藍(lán)線的值。它非常接近零，為-0.008。這里可能涉及到準(zhǔn)確性的問題（我們將在今后的文章中介紹有關(guān)準(zhǔn)確性Accuracy和分辨率Resolution的定義和應(yīng)用）。但是由于該傳感器已經(jīng)過校準(zhǔn)，因此上述偏差的原因更可能是由于加速度計(jì)相對于地球重力矢量略有傾斜引起的，這會(huì)導(dǎo)致加速度在X或Y方向上存在一定的分量。

       但是，你可能會(huì)想：這種分析僅在我們不想測量任何變化的數(shù)據(jù)時(shí)才會(huì)有效。因?yàn)槟阗I加速度計(jì)可不只是為了測重力，你實(shí)際上希望它能夠移動(dòng)——在真實(shí)應(yīng)用環(huán)境中測量加速度隨時(shí)間的變化。為此，我們需要表征噪聲隨時(shí)間變化的情況，因此需要找出能夠校正噪聲之前，要采集數(shù)據(jù)的時(shí)間長度。

3.Allan方差

       對于許多傳感器而言，存在一段理想的時(shí)間長度，在該時(shí)間長度上取平均值（或其他統(tǒng)計(jì)參數(shù)）可以獲得噪聲的小值（至少對于某些類型的噪聲）。以上面的250萬個(gè)點(diǎn)為例，我們可以問一個(gè)問題：要以較高的信噪比達(dá)到-0.008的期望值，我們需要至少平均多少個(gè)點(diǎn)？這是一個(gè)很好的問題，但不幸的是，對于所獲取的數(shù)據(jù)集，直到獲得很多數(shù)據(jù)點(diǎn)之后，我們才知道-0.008這個(gè)“答案”。

       現(xiàn)在，我們將每個(gè)單獨(dú)的數(shù)據(jù)點(diǎn)視為一個(gè)“組”，而不是由125萬個(gè)點(diǎn)組成的兩組。也就是說，我們現(xiàn)在有250萬個(gè)“組”。在這種情況下，我們做同樣的事情——“平均”每個(gè)組（在這種情況下，每“組”只有一個(gè)數(shù)據(jù)），然后檢查所有組平均值之間的方差。當(dāng)將每個(gè)單獨(dú)的點(diǎn)視為一個(gè)“組”時(shí)，組平均值的方差就等于傳感器在以每個(gè)點(diǎn)的平均時(shí)間為間隔時(shí)的噪聲。以上述傳感器為例，兩側(cè)的平均值大約為0.01g（總計(jì)0.02g）。

       為此，我們不僅要有一個(gè)或125萬個(gè)小組，而且要嘗試所有組的規(guī)模。因此，我們可以遍歷整個(gè)數(shù)據(jù)集，并將其分成由2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)成的組，然后分別平均。然后以3，4，5 .... 10 .... 100 .... 1000等個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為組，分別進(jìn)行平均。后我們找到所有大小相等的數(shù)據(jù)組之間的方差。隨著數(shù)據(jù)組變得越來越長，不同數(shù)據(jù)組之間的平均值會(huì)越來越接近，因?yàn)槊總€(gè)數(shù)據(jù)組的平均值會(huì)越來越接近“真實(shí)”的平均值。

       幸運(yùn)的是，網(wǎng)上已經(jīng)有很多程序可以讓我們做Allan方差計(jì)算。其文檔和資源可在線獲得。我們利用這些程序可得到如下圖：

       該圖顯示了我們期望的結(jié)果（即，確實(shí)存在一個(gè)非常明顯的點(diǎn)，對足夠大的一組數(shù)據(jù)求平均會(huì)使噪聲水平比數(shù)據(jù)數(shù)量較少的組小）。但是，這個(gè)圖并不是非常有用，有兩個(gè)原因：

• 這種變化過于劇烈，以至于很難說出理想的組數(shù)是多少 

• 方差的單位是傳感器值的平方，而“加速度平方”不是一個(gè)很直觀的單位 

還有一個(gè)奇怪的事實(shí)是，方差在下降之后會(huì)再次上升，我們稍后再來討論這點(diǎn)。

       不過，我們可以通過將數(shù)據(jù)放在對數(shù)——對數(shù)圖上來解決di一個(gè)問題。下降之所以如此急劇，是因?yàn)榉讲钤谳^短的橫軸區(qū)間內(nèi)下降了幾個(gè)數(shù)量級。因此，對數(shù)——對數(shù)圖將給較小的數(shù)字更大的權(quán)重，并加重變化。我們可以使用Origin或者M(jìn)atlab將上述數(shù)據(jù)重新作圖，將橫軸和縱軸都更改成對數(shù)坐標(biāo)，從而得到如下圖：

       在di一個(gè)線性圖中方差的平方增加對應(yīng)對數(shù)——對數(shù)圖中的顯著轉(zhuǎn)折。即使在線性圖上，也可以清楚看到與初始的噪聲降低相比，噪聲也只是略有上升的趨勢。